int_-1^1absx dx  এর সঠিক মান নিচের কোনটি ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\int_{-1}^{1} |\!x|\ dx\) এর মান কি? প্রথমে, লক্ষ্য করুন যে \(|x|\) হলো মানের ধনাত্মক মান, অর্থাৎ: \[ |x| = \begin{cases} -x, & \text{যখন } x < 0 \\ x, & \text{যখন } x \geq 0 \end{cases} \] সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দুটি অংশে বিভক্ত হবে: \[ \int_{-1}^{1} |x|\ dx = \int_{-1}^{0} |x|\ dx + \int_{0}^{1} |x|\ dx \] প্রথম অংশে, \(x < 0\), তাই: \[ \int_{-1}^{0} |x|\ dx = \int_{-1}^{0} -x\ dx \] দ্বিতীয় অংশে, \(x \geq 0\), তাই: \[ \int_{0}^{1} |x|\ dx = \int_{0}^{1} x\ dx \] এখন, সেগুলোর সমাধান করি: \[ \int_{-1}^{0} -x\ dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left( -\frac{0^2}{2} \right) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \] \[ \int_{0}^{1} x\ dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \int_{-1}^{1} |\!x|\ dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] **উত্তর: \(\boxed{1}\)**