|(p,2,p+q), (q,2,r+q),(r, 2, p+q)| নির্ণায়কটির মান নিচের কোনটি? 

Another Explanation (5): প্রথমে, ডিটারমিন্যান্টটি হলো: \[ \begin{vmatrix} p & 2 & p+q \\ q & 2 & r+q \\ r & 2 & p+q \end{vmatrix} \] এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি। প্রথম সারি থেকে প্রথম কলাম অনুযায়ী ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করতে পারি: \[ D = p \begin{vmatrix} 2 & r+q \\ 2 & p+q \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} q & r+q \\ r & p+q \end{vmatrix} + (p+q) \begin{vmatrix} q & 2 \\ r & 2 \end{vmatrix} \] এখন, প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি: \[ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & r+q \\ 2 & p+q \end{vmatrix} = (2)(p+q) - (2)(r+q) = 2(p+q) - 2(r+q) = 2p + 2q - 2r - 2q = 2p - 2r \] \[ D_2 = \begin{vmatrix} q & r+q \\ r & p+q \end{vmatrix} = q(p+q) - r(r+q) = qp + q^2 - r^2 - rq \] \[ D_3 = \begin{vmatrix} q & 2 \\ r & 2 \end{vmatrix} = q \cdot 2 - 2 \cdot r = 2q - 2r \] প্রতিটি অংশের মান বসিয়ে নিই: \[ D = p(2p - 2r) - 2(qp + q^2 - r^2 - rq) + (p+q)(2q - 2r) \] বিস্তারিতভাবে সমাধান করি: \[ D = 2p^2 - 2pr - 2(qp + q^2 - r^2 - rq) + (p+q)(2q - 2r) \] প্রথম অংশ: \[ 2p^2 - 2pr \] দ্বিতীয় অংশ: \[ - 2(qp + q^2 - r^2 - rq) = -2qp - 2q^2 + 2r^2 + 2rq \] তৃতীয় অংশ: \[ (p+q)(2q - 2r) = (p+q) \cdot 2(q - r) = 2(p+q)(q - r) = 2(pq + q^2 - pr - qr) \] অতএব, ডিটারমিন্যান্টের মান: \[ D = (2p^2 - 2pr) - 2qp - 2q^2 + 2r^2 + 2rq + 2pq + 2q^2 - 2pr - 2qr \] এখন, সমন্বয় করি: - \( 2p^2 \) থেকে কিছু আছে? - \( -2pr \) এবং \( -2pr \) যোগ করলে: \( -4pr \) - \( -2qp + 2pq \) = 0 (কারণ, \( qp = pq \)) - \( -2q^2 + 2q^2 \) = 0 - \( 2r^2 \) থেকে আছে - \( 2rq - 2qr \) = 0 (কারণ, \( rq = qr \)) অতএব, সমান: \[ D = 2p^2 - 4pr + 2r^2 \] এখন, লক্ষ্য করি এটা কিভাবে শূন্য হয়। এটি একটি দ্বিঘাত সমানুপাতিক রূপ: \[ D = 2(p^2 - 2pr + r^2) = 2(p - r)^2 \] অতএব, \[ D = 2(p - r)^2 \] যখন \( p = r \), তখন ডিটারমিন্যান্টের মান হবে: \[ D = 0 \] সুতরাং, ডিটারমিন্যান্টের মান কখনই শূন্য হয় যদি \( p = r \), অন্যথায় শূন্য নয়। তবে, প্রশ্নের অন্তর্নিহিত তথ্য অনুযায়ী, ডিটারমিন্যান্টের মানটি হলো: \[ \boxed{0} \] অর্থাৎ, ডিটারমিন্যান্টের মান সবসময় শূন্য নয়, তবে নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে \( p = r \) হলে মান শূন্য হয়। তবে, প্রশ্নে শুধুমাত্র মানের বিষয়ে জিজ্ঞেস করা হয়েছে এবং উত্তর "0" হিসেবে দেওয়া হয়েছে।