\( y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \) বক্ররেখার \( (2, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?

Explanation: Hints: বক্ররেখাটির \((2,2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ বের করতে হবে। কারণ স্পর্শকের উপর লম্ব অবস্থানেই হচ্ছে অভিলম্ব। Solve: \(y^2 = x^3 - 2x^2 + 4\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ, \(2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 4x}{2y}\) \((2,2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, \(m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{3\cdot2^2 - 4\cdot2}{2\cdot2} = 1\) স্পর্শকের উপর লম্বরেখার ঢাল \(m_2\) \(\therefore m_1 \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -1\) \((2,2)\) বিন্দুতে \(-1\) ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ \(y - y_1 = m_2 (x - x_1) \implies y - 2 = -1(x - 2) \implies x + y - 4 = 0\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: \(* বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল \(m_1 = \frac{dy}{dx}\) * দুইটা রেখার ঢালের গুণফল \(-1\) * \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী কোন সরলরেখার সমীকরণ, \(y - y_1 = m(x - x_1)\)। চিত্রটি খেয়াল করো: \(m_1 \times m_2 = -1\)। By Calculator: \(y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \implies y = \sqrt{x^3 - 2x^2 + 4}\)। একে ক্যালকুলেটরের সাহায্যে \(\frac{d}{dx}\) করলে মান আসে \(1\) \((x = 2 \text{ ধরে})\)। এখন অপশন থেকে যে রেখার ঢালের সাথে এই \(1\) কে গুণ করলে \(-1\) আসবে সেটাই Answer। অপশন \((D)\) এর ঢাল \(-1\), যাকে \(1\) এর সাথে গুণ করলে পাওয়া যায় \(-1\)। অর্থাৎ Ans. (D)।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \) বক্ররেখার \( (2, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:

প্রদত্ত বক্ররেখা: \( y^2 = x^3 - 2x^2 + 4 \)

আমরা \( x \) এর সাপেক্ষে উভয় দিকে অন্তরকলন করি:

\( 2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x \)

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 4x}{2y} \)

\( (2, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি:

\( \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2, 2)} = \frac{3(2)^2 - 4(2)}{2(2)} = \frac{12 - 8}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

সুতরাং, \( (2, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি \( m_1 = 1 \)।

স্পর্শকের উপর লম্ব রেখার নতি \( m_2 \) হলে, \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) হবে।

সুতরাং, \( m_2 = -1 \)

\( (2, 2) \) বিন্দুতে \( -1 \) নতিবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:

\( y - 2 = -1(x - 2) \)

\( y - 2 = -x + 2 \)

\( x + y - 4 = 0 \)

অতএব, নির্ণেয় লম্ব রেখার সমীকরণ \( x + y - 4 = 0 \)। 🎉

উত্তর: \( x + y - 4 = 0 \)

```