k এর কোন মানের জন্য (k² – 3 )x² + 3kx + (3k + 1) = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \((k^2 - 3) x^2 + 3kx + (3k + 1) = 0\) আমাদের লক্ষ্য হলো এমন \(k\) এর মান খুঁজে বের করা যেখানে এই সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হয়। অর্থাৎ, যদি সমীকরণের মূলগুলো হয় \( \alpha \) এবং \( \beta \), তাহলে: \[ \alpha \beta = -1 \] (কারণ দুই মূলের উল্টা মানের জন্য, তাদের গুণফল \(-1\) হতে হবে।) --- **ধাপ ১:** মূলের গুণফল ও সমন্বয় সূত্র ব্যবহার করি। সমীকরণের সাধারণ আকার: \(ax^2 + bx + c = 0\) এখানে, \[ a = k^2 - 3, \quad b = 3k, \quad c = 3k + 1 \] মূলের গুণফল: \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{3k + 1}{k^2 - 3} \] মূলের যোগফল: \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = - \frac{3k}{k^2 - 3} \] --- **ধাপ ২:** মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হলে: \[ \alpha \beta = -1 \] অর্থাৎ, \[ \frac{3k + 1}{k^2 - 3} = -1 \] --- **ধাপ ৩:** সমীকরণ সমাধান করি: \[ \frac{3k + 1}{k^2 - 3} = -1 \] এটি লিখি: \[ 3k + 1 = - (k^2 - 3) \] \[ 3k + 1 = -k^2 + 3 \] অতএব, \[ k^2 + 3k + (1 - 3) = 0 \] \[ k^2 + 3k - 2 = 0 \] --- **ধাপ ৪:** এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণ সমাধান করি: \[ k^2 + 3k - 2 = 0 \] ডিসক্রিমিনেন্ট: \[ D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9 + 8 = 17 \] মূল: \[ k = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \] --- **উত্তর:** অতএব, \(k\) এর মান: \[ \boxed{ k = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \quad \text{বা} \quad k = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} } \] --- **নোট:** প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে উত্তর হিসেবে "-1"। তবে, উপরের বিশ্লেষণ অনুযায়ী, মূলগুলো নির্ণয় হয়েছে। যদি প্রশ্নের উদ্দেশ্য হয়, তখন দুটি মানের মধ্যে কোনটি মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হবে সেটি নির্ণয় করা। এই ক্ষেত্রে, \(k = -1\) এই মানটি যোগ্য নয় কারণ এটি উপযুক্ত সমাধান নয়। **তবে, যদি প্রশ্নে নির্দেশ থাকে যে, \(k = -1\) এর জন্য মূলদ্বয় উল্টা হবে, তাহলে তা যাচাই করি:** প্রয়োগ: \[ k = -1 \] সমীকরণ: \[ (k^2 - 3) x^2 + 3k x + (3k + 1) = 0 \] \[ (1 - 3) x^2 + 3 \times (-1) x + (3 \times -1 + 1) = 0 \] \[ -2 x^2 - 3x - 2 = 0 \] গুণফল: \[ \alpha \beta = \frac{-2}{-2} = 1 \] মূলের গুণফল 1, যা উল্টো নয়। অতএব, **\(k = -1\) এর জন্য মূলদ্বয় উল্টা হবে না।** --- **সারসংক্ষেপ:** **উত্তর:** \(\boxed{\text{উল্লেখিত গণনানুযায়ী, মূলের উল্টা হওয়ার জন্য } k = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}}\) (অর্থাৎ, \(-1\) নয়।)