a এর কোন মানের জন্য  ahati-2hatj+hatk  এবং  2ahati-ahatj+4hatk  পরস্পর লম্ব হবে? 

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য \( \hat{a}i - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( 2\hat{a}i - \hat{a}j + 4\hat{k} \) পরস্পর লম্ব হবে?

ব্যাখ্যা:

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া। ধরি, প্রথম ভেক্টর \( \vec{A} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং দ্বিতীয় ভেক্টর \( \vec{B} = 2a\hat{i} - a\hat{j} + 4\hat{k} \). যেহেতু ভেক্টরদ্বয় লম্ব, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \) হবে। ডট গুণফল বের করি: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2a) + (-2)(-a) + (1)(4) = 0 \] \[ 2a^2 + 2a + 4 = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করি: \[ a^2 + a + 2 = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এর সমাধান \( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) সূত্রের মাধ্যমে বের করা যায়। এখানে, a=1, b=1, c=2. সুতরাং, \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} \] যেহেতু বর্গমূলের ভিতরে ঋণাত্মক সংখ্যা আছে, \( a \) এর কোনো বাস্তব মান নেই। সুতরাং, উত্তর হবে "nan"। ✔️ ```