যদি  sin(π/2cosalpha)=cos(π/2sinalpha) হয়, তবে α এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান:

দেওয়া আছে, \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\cos\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin\alpha\right) \) আমরা জানি, \( \sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \) সুতরাং, \( \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin\alpha\right) \) অতএব, \( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos\alpha = \frac{\pi}{2}\sin\alpha \) \( \Rightarrow 1 - \cos\alpha = \sin\alpha \) \( \Rightarrow 1 = \sin\alpha + \cos\alpha \) উভয় পক্ষে বর্গ করে পাই, \( 1^2 = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \) \( \Rightarrow 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha \) \( \Rightarrow 1 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha \) \( \Rightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha = 0 \) \( \Rightarrow \sin(2\alpha) = 0 \) \( \Rightarrow 2\alpha = n\pi \), যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। \( \Rightarrow \alpha = \frac{n\pi}{2} \) এখন, \( \alpha \) এর সম্ভাব্য মানগুলি হল: \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, ... \) যদি \( \alpha = 0 \) হয়, তবে \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\cos(0)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \) এবং \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin(0)\right) = \cos(0) = 1 \). সুতরাং, \( \alpha = 0 \) একটি সমাধান। যদি \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) হয়, তবে \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sin(0) = 0 \) এবং \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \). সুতরাং, \( \alpha = \frac{\pi}{2} \) একটি সমাধান। এখন আমাদের দেখতে হবে যে \( 1 = \sin\alpha + \cos\alpha \) এই সমীকরণটি সিদ্ধ করে কিনা। যদি \( \alpha = \pi \) হয়, তবে \( \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1 \neq 1 \). সুতরাং, \( \alpha = \pi \) সমাধান নয়। একইভাবে, \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \) ও সমাধান নয়। সুতরাং, \( \alpha \) এর মান \( 0 \) অথবা \( \frac{\pi}{2} \) হতে পারে। অতএব, নির্ণেয় মান \( \alpha \in \left\{0, \frac{\pi}{2}\right\} \) 🥳 ```