x^3-px^2+q=0 সমীকরণের মূলত্রয় ɑ,β,ɤ হলে ∑ɑ2 এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

সমীকরণ \(x^3 - p x^2 + q = 0\) এর মূলত্রয় \(ɑ, β, ɤ\) হলে, \(\sum α^2\) এর মান কত?

উত্তর:

সমীকরণের মূলত্রয় \(ɑ, β, ɤ\) এর জন্য মূলের উপর ভিত্তি করে নিম্নলিখিত সমীকরণ সমূহ বস্তুগত:

Sum of roots: \(ɑ + β + ɤ = p\)
Sum of products of roots taken two at a time: \(ɑβ + βɤ + ɤɑ = 0\)
Product of roots: \(ɑ β ɤ = -q\)

আমাদের লক্ষ্য \(\sum α^2 = ɑ^2 + β^2 + ɤ^2\) বের করা।

প্রথমে, আমরা জানি:

\[ \left( ɑ + β + ɤ \right)^2 = ɑ^2 + β^2 + ɤ^2 + 2(ɑβ + βɤ + ɤɑ) \] অর্থাৎ, \[ p^2 = ɑ^2 + β^2 + ɤ^2 + 2 \times 0 \] (কারণ, মূলের দ্বৈত যোগফল 0) অতএব, \[ ɑ^2 + β^2 + ɤ^2 = p^2 \] অতএব, \(\boxed{p^2}\) হলো \(\sum α^2\) এর মান।