Explanation: Hints: \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
Solve: \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \implies m^2(1 - \frac{v^2}{c^2}) = m_0^2 \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_0}{m}\right)^2 \)
\(\implies v^2 = \left\{ 1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2 \right\} \times c^2 \implies v = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2} \times c = 0.9999999c \)
Ans. (D)
ব্যাখ্যা: আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্ব মতে, দৈর্ঘ্য, সময় ও ভরের ভরগতিলতার উপর নির্ভরশীল। এই তত্ত্বানুযায়ী ভরের ভর, বেগ বৃদ্ধির সাথে বৃদ্ধি পায়। একে ভরের আপেক্ষিকতা বলে।
গতিশীল কোনো বস্তুর ভর এ বস্তুর স্থির ভরের চেয়ে বেশি। তাই ইলেকট্রনের বেগ বাড়ালে প্রোটনের সমান হবে। \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
Another Explanation (5):
ইলেকট্রনের বেগ নির্ণয় 🚀
একটি ইলেকট্রনকে 🧑🚀 ঠিক কত বেগে ছুড়লে 💥 এর ভর একটি প্রোটনের 🧲 ভরের সমান হবে, সেটি বের করতে হবে।
প্রথমে, প্রয়োজনীয় সূত্র 🤔
ভরবেগের আপেক্ষিকতা (Relativistic mass) অনুযায়ী,
\( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
যেখানে:
* \( m \) = আপেক্ষিক ভর (relativistic mass) ⚖️
* \( m_0 \) = স্থির ভর (rest mass) 🧘
* \( v \) = বেগ 🏃
* \( c \) = আলোর বেগ (light speed) ≈ \(3 \times 10^8\) m/s 🌠
প্রদত্ত তথ্য 📃
* ইলেকট্রনের স্থির ভর, \( m_{e0} = 9.1 \times 10^{-31} \) kg
* প্রোটনের ভর, \( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \) kg
আমাদের বের করতে হবে ইলেকট্রনের বেগ \( v \) কত হলে ইলেকট্রনের আপেক্ষিক ভর \( m_p \) এর সমান হবে।
সমাধান ✍️
আমরা জানি, ইলেকট্রনের আপেক্ষিক ভর \( m = m_p \) হবে। সুতরাং,
\( m_p = \frac{m_{e0}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
এখন, \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) এর মান বের করি:
\( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_{e0}}{m_p} \)
\( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{1.67 \times 10^{-27}} \)
\( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \approx 0.0005449 \)
উভয় দিকে বর্গ করে পাই:
\( 1 - \frac{v^2}{c^2} \approx (0.0005449)^2 \)
\( 1 - \frac{v^2}{c^2} \approx 2.97 \times 10^{-7} \)
এখন, \(\frac{v^2}{c^2}\) এর মান বের করি:
\( \frac{v^2}{c^2} = 1 - 2.97 \times 10^{-7} \)
\( \frac{v^2}{c^2} \approx 0.9999997 \)
সুতরাং,
\( v^2 = 0.9999997 \times c^2 \)
\( v = \sqrt{0.9999997} \times c \)
\( v \approx 0.99999985 \times c \)
অতএব, \(v \approx 0.9999999c\) 🎉
ফলাফল 🎯
যদি ইলেকট্রনকে আলোর বেগের \(0.9999999\) গুণ বেগে ধাবিত করা যায়, তবে এর ভর প্রোটনের ভরের সমান হবে।
