\( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) হলে \( f^{-1}(x) \) এর কোডোমেন কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে আমাদের দেওয়া ফাংশন হলো: \[ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \] আমরা চাই \(f^{-1}(x)\) এর কোডোমেন নির্ণয় করতে। এর জন্য প্রথমে \(f(x)\)-এর ইনভার্স ফাংশন খুঁজে বের করি।

ধাপ ১: \(f(x)\) এর ইনভার্স খুঁজে বের করা

প্রতিস্থাপন করি: \[ y = \frac{2x + 1}{x - 3} \] এখন \(x\) এর জন্য সমাধান করি: \[ y(x - 3) = 2x + 1 \] \[ yx - 3y = 2x + 1 \] উভয় দিক থেকে \(x\) সমূহ আলাদা করি: \[ yx - 2x = 3y + 1 \] \[ x(y - 2) = 3y + 1 \] অতঃপর, \[ x = \frac{3y + 1}{y - 2} \] অর্থাৎ, \[ f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2} \]

ধাপ ২: \(f^{-1}(x)\) এর ডোমেইন নির্ণয়

\(f^{-1}(x)\) এর ডোমেইন হলো সেই সকল \(x\) মান যাদের জন্য \(f^{-1}(x)\) সংজ্ঞায়িত। যা মূলত, যেখানে ডিনোমিনেটর শূন্য নয়। অর্থাৎ: \[ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \] তবে, আমাদের জানার জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, \(f^{-1}(x)\) এর ডোমেইন মূলত \(f(x)\) এর কোডোমেন। কারণ, ইনভার্সের ডোমেইন সেই মানগুলো যেগুলো \(f\)-এর আউটপুট হয়েছে। অতএব, প্রথমে \(f(x)\)-এর কোডোমেন নির্ণয় করি।

ধাপ ৩: \(f(x)\)-এর কোডোমেন নির্ণয়

সাধারণত, রৈখিক ভগ্নাংশের জন্য, কোডোমেন হলো রিয়েল সংখ্যার সেট থেকে সেই মান বাদ দেওয়া হয়, যেগুলির জন্য ডিনোমিনেটর শূন্য হয়। এখানে: \[ x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \] অর্থাৎ, \(f(x)\) এর ডোমেইন হলো: \[ \mathbb{R} - \{3\} \] এবং, যেহেতু \(f\) একটি রৈখিক ভগ্নাংশ, এর আউটপুট যেকোনো মান হতে পারে, যদি \(x \neq 3\)। তাই, \(f^{-1}(x)\)-এর জন্য কোডোমেন হলো সেই মানগুলো, যেগুলো \(f\)-এর আউটপুট। অর্থাৎ, \(f(x)\)-এর কোডোমেন হলো: \[ \mathbb{R} - \{3\} \] তাই, \(f^{-1}(x)\) এর কোডোমেন হলো: \[ \boxed{\mathbb{R} - \{3\}} \]

উত্তর:

\[ \mathbb{R} - \{3\} \]