y² = 2x³ বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকটি 4x - 3y +1 =0 সরলরেখার লম্ব হবে ?  

Explanation:

(1/8, -1/16)

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(y^2 = 2x^3\) বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শকটি \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার লম্ব হবে?

সমাধান:

ধরি, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে \(y^2 = 2x^3\) বক্ররেখার স্পর্শক \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার উপর লম্ব। \(y^2 = 2x^3\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \[ 2y \frac{dy}{dx} = 6x^2 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{y} \] সুতরাং, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, \[ m_1 = \frac{3x_1^2}{y_1} \] \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার ঢাল, \[ 3y = 4x + 1 \] \[ y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} \] \[ m_2 = \frac{4}{3} \] যেহেতু স্পর্শকটি \(4x - 3y + 1 = 0\) সরলরেখার উপর লম্ব, \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] \[ \frac{3x_1^2}{y_1} \cdot \frac{4}{3} = -1 \] \[ \frac{4x_1^2}{y_1} = -1 \] \[ y_1 = -4x_1^2 \quad \cdots (1) \] আবার, \( (x_1, y_1) \) বিন্দুটি \(y^2 = 2x^3\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং, \[ y_1^2 = 2x_1^3 \quad \cdots (2) \] \( (1) \) নং সমীকরণ থেকে \(y_1\) এর মান \( (2) \) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, \[ (-4x_1^2)^2 = 2x_1^3 \] \[ 16x_1^4 = 2x_1^3 \] \[ 8x_1^4 = x_1^3 \] \[ 8x_1^4 - x_1^3 = 0 \] \[ x_1^3(8x_1 - 1) = 0 \] সুতরাং, \(x_1 = 0\) অথবা \(x_1 = \frac{1}{8}\) যদি \(x_1 = 0\) হয়, তবে \(y_1 = -4(0)^2 = 0\)। কিন্তু \(\frac{dy}{dx}\) এর মান অসংজ্ঞায়িত হবে। 🤯 যদি \(x_1 = \frac{1}{8}\) হয়, তবে \(y_1 = -4(\frac{1}{8})^2 = -4 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{1}{16}\) অতএব, নির্ণেয় বিন্দুটি হলো \( (\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}) \) । 🎉 ```