এর মান কত?|(1,bc,bc (b+c)),(1,ca,ca(c+a)),(1,ab,ab(a+b))| 

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে হবে: \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{vmatrix} \] প্রথমে তৃতীয় কলাম থেকে দ্বিতীয় কলাম বিয়োগ করে, তাকে \(b+c, c+a, a+b\) দিয়ে গুণ করা যায়। \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & bc & b^2c + bc^2 \\ 1 & ca & c^2a + ca^2 \\ 1 & ab & a^2b + ab^2 \end{vmatrix} \] এখন, \(C_3 \rightarrow C_3 + abc - (a*C_1+b*C_1+c*C_1)\) প্রয়োগ করি। 🤔 \[ = \begin{vmatrix} 1 & bc & b^2c + bc^2 \\ 1 & ca & c^2a + ca^2 \\ 1 & ab & a^2b + ab^2 \end{vmatrix} \] \(C_3\) কলাম থেকে \(bc, ca, ab\) কমন নিলে, \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{vmatrix} \] এখন প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি এবং দ্বিতীয় সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করি: \(R_2 \rightarrow R_2 - R_1\) এবং \(R_3 \rightarrow R_3 - R_2\) \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & b^2c + bc^2 \\ 0 & ca-bc & c^2a + ca^2 - b^2c - bc^2 \\ 0 & ab-ca & a^2b + ab^2 - c^2a - ca^2 \end{vmatrix} \] \[ = \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 0 & c(a-b) & ca(c+a) - bc(b+c) \\ 0 & a(b-c) & ab(a+b) - ca(c+a) \end{vmatrix} \] এখন নির্ণায়কটির মান বের করি: \[ 1 \cdot [c(a-b)\{ab(a+b) - ca(c+a)\} - a(b-c)\{ca(c+a) - bc(b+c)\}] \] \[ = c(a-b)\{a^2b + ab^2 - c^2a - ca^2\} - a(b-c)\{c^2a + ca^2 - b^2c - bc^2\} \] \[ = c(a-b)\{a^2(b-c) + a(b^2-c^2)\} - a(b-c)\{ca(c-b) + c(a^2-b^2)\} \] \[ = c(a-b)\{a^2(b-c) + a(b+c)(b-c)\} - a(b-c)\{ca(c-b) + c(a+b)(a-b)\} \] যদি নির্ণায়কের দুটি সারি বা কলাম একই হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। 🤔 এখানে C1 কে a,b,c দিয়ে গুণ করে যদি C3 থেকে বিয়োগ করি, তাহলে C3 কলামটি 0 হয়ে যাবে। \[C_3 \rightarrow C_3 - aC_1 -bC_2\] \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{vmatrix} \] এখন, \(C_3 \rightarrow C_3 - (a+b+c)C_2\) করি : \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c) - (a+b+c)bc \\ 1 & ca & ca(c+a) - (a+b+c)ca \\ 1 & ab & ab(a+b) - (a+b+c)ab \end{vmatrix} \] \[ \begin{vmatrix} 1 & bc & bc(b+c - a -b -c) \\ 1 & ca & ca(c+a - a -b -c) \\ 1 & ab & ab(a+b - a -b -c) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & bc & -abc \\ 1 & ca & -abc \\ 1 & ab & -abc \end{vmatrix} \] এখন তৃতীয় কলাম থেকে \(-abc\) কমন নিলে, \[ -abc \begin{vmatrix} 1 & bc & 1 \\ 1 & ca & 1 \\ 1 & ab & 1 \end{vmatrix} = 0 \] যেহেতু দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম একই। 🥳 অতএব, নির্ণায়কের মান 0।