cosecθ + cotθ =sqrt3  এবং  0<θ<π/2  হলে θ এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \[ \csc \theta + \cot \theta = \sqrt{3} \] প্রথমে, \(\csc \theta\) ও \(\cot \theta\) এর পরিচিতি ব্যবহার করি: \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \quad \text{এবং} \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \] অতএব, \[ \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] একই নাম্বারে ভাগ করলে: \[ \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] এখানে, \[ 1 + \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta \] উভয় পাশে স্কোয়ার করি: \[ (1 + \cos \theta)^2 = 3 \sin^2 \theta \] বিস্তৃত করি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta \] জানা আছে যে, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), তাই: \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \] প্রতিস্থাপন করি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 (1 - \cos^2 \theta) \] বিস্তৃত করি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta \] সব এক পাশে নিয়ে আসি: \[ \cos^2 \theta + 3 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta + 1 - 3 = 0 \] সরল করি: \[ 4 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 0 \] গুণ করি 2 দ্বারা: \[ 8 \cos^2 \theta + 4 \cos \theta - 4 = 0 \] অথবা, সহজ করার জন্য মূল সমীকরণটি আবার লিখি: \[ 4 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 0 \] এটি একটি কৌণিক সমীকরণ। আসুন \(x = \cos \theta\), তাহলে: \[ 4x^2 + 2x - 2 = 0 \] আনন্দে সমাধান করি: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 4 \times (-2)}}{2 \times 4} \] গণনা করি: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{8} = \frac{-2 \pm 6}{8} \] দুটি সমাধান: \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \] তবে, \(\cos \theta = -1\) হলে \(\theta = \pi\), যা আমাদের দেওয়া কোণ সীমার মধ্যে নয় (কারণ \(0 < \theta < \pi/2\)), সুতরাং: \[ \cos \theta = \frac{1}{2} \] এখন, \(\theta\) এর মান: \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3} \] অতএব, \[ \boxed{\theta = \frac{\pi}{3}} \] **উত্তর:** \(\frac{\pi}{3}\)