sin^-1x+sin^-1y=π/2 হলে  xsqrt(1-y^2)+ysqrt(1-x^2) = ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: \[ \sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} \] আমরা জানি, যদি \(\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}\), তবে: \[ \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x \] এখন, \(\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x\) হলে, \[ y = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x\right) \] সাধারণ সূত্র অনুযায়ী: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta \] অতএব, \[ y = \cos (\sin^{-1} x) \] আমরা জানি, \(\cos (\sin^{-1} x) = \sqrt{1 - x^2}\), কারণ: \[ \sin^{-1} x = \theta \Rightarrow x = \sin \theta \Rightarrow \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2} \] অর্থাৎ, \[ y = \sqrt{1 - x^2} \] এখন, আমাদের মূল প্রশ্ন: \[ xsqrt(1 - y^2) + y \sqrt{1 - x^2} \] প্রথমে, \(1 - y^2\): \[ 1 - y^2 = 1 - (\sqrt{1 - x^2})^2 = 1 - (1 - x^2) = x^2 \] অতএব, \[ \sqrt{1 - y^2} = \sqrt{x^2} = |x| \] এবং, \(1 - x^2\): \[ \sqrt{1 - x^2} \] তাই, মূল expression: \[ x \times |x| + y \times \sqrt{1 - x^2} \] চলুন, \(x \geq 0\) ধরি (যেহেতু \(\sin^{-1} x\) এর মান \(-\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\) এর মধ্যে, এবং \(x\) এর মান এই রেঞ্জে থাকলে, \(x\) ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে।) তাহলে, \(x \geq 0\) হলে: \[ |x| = x \] অতএব, \[ x \times x + y \times \sqrt{1 - x^2} \] \[ = x^2 + \sqrt{1 - x^2} \times \sqrt{1 - x^2} \] \[ = x^2 + (1 - x^2) = 1 \] **উত্তর: \(\boxed{1}\)**