\( F(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \) বাস্তব ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ-

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া ফাংশনঃ

\[ F(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \]

ডোমেন নির্ণয়:

প্রথমত, আমাদের দেখতে হবে যে ভেতরে যে ধারাটি আছে তা অবশ্যই শূন্যের বেশি বা সমান হতে হবে যাতে বর্গমূলের ভিতরটি অব্যাহত থাকে। অর্থাৎ,

\[ 4 - x^2 > 0 \]

অথবা,

\[ 4 > x^2 \]

অথবা,

\[ -2 < x < 2 \]

তাহলে, ডোমেন হবে:

\[ \boxed{ -2 < x < 2 } \]

রেঞ্জ নির্ণয়:

আমরা জানি, \(\sqrt{4 - x^2}\) সর্বোচ্চ মান পাবে যখন \(x^2\) সর্বনিম্ন হবে। যেহেতু \(x^2 \geq 0\), তাই:

• সর্বোচ্চ মানটি হবে যখন \(x = 0\):

\[ \sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2 \]

• অতএব, সর্বনিম্ন মান হবে যখন \(x\) সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন মানে, অর্থাৎ \(x \to \pm 2\), কিন্তু এই মান গুলিতে ডেনোমিনেটর শূন্য হয়ে যায়, তাই ফাংশন অপরিসীম।

তাই, \(\sqrt{4 - x^2}\) এর মান ধীরে ধীরে 0 এর দিকে যায় যখন \(x \to \pm 2\)। এই অবস্থায়, \(F(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\) এর মান ধীরে ধীরে অবিরাম বড় হয়।

অর্থাৎ, ফাংশনের রেঞ্জ হবে:

\[ y > 0 \]

এবং সর্বোচ্চ মানের জন্য, যখন \(\sqrt{4 - x^2}\) সর্বোচ্চ মানে, অর্থাৎ 2, তখন:

\[ F(0) = \frac{1}{2} \]

অতএব, রেঞ্জ হবে:

\[ \boxed{ y > \frac{1}{2} } \]

উত্তর:

ডোমেন: \( -2 < x < 2 \)

রেঞ্জ: \( y > \frac{1}{2} \)