\( \left| \begin{matrix} 0 & 3 & 2x + 7 \\ 2 & 7x & 9 + 5x \\ 0 & 0 & 2x + 5 \end{matrix} \right| = 0 \) হলে x এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

আমাদের দেয়া ম্যাট্রিক্স হলো: \[ \left| \begin{matrix} 0 & 3 & 2x + 7 \\ 2 & 7x & 9 + 5x \\ 0 & 0 & 2x + 5 \end{matrix} \right| = 0 \] এখানে, ডিটারমিন্যান্টের মান শূন্য হলে, এর মান নির্ণয় করতে হবে। চিহ্নিত করব যে, এটি একটি ট্র্যাপেজয়েডাল ম্যাট্রিক্স যেখানে প্রথম কলামের প্রথম এবং তৃতীয় সারি 0। এই ধরনের ডিটারমিন্যান্টের জন্য, মূল ডিটারমিন্যান্টের মান সহজে নির্ণয় করা যায়। প্রথমে, ডিটারমিন্যান্টের জন্য সূত্র: \[ \det(A) = a_{11} \times \det \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} - a_{12} \times \det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} + a_{13} \times \det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \] তবে, প্রথম সারির প্রথম উপাদান \(a_{11} = 0\), তাই প্রথম টার্মের মান শূন্য। অতএব, \[ \det(A) = - a_{12} \times \det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} + a_{13} \times \det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \] এখানে, \(a_{12} = 3\) \(a_{13} = 2x + 7\) \(a_{21} = 2\) \(a_{22} = 7x\) \(a_{23} = 9 + 5x\) \(a_{31} = 0\) \(a_{32} = 0\) তাই, \[ \det(A) = -3 \times \det \begin{bmatrix} 2 & 9 + 5x \\ 0 & 2x + 5 \end{bmatrix} + (2x + 7) \times \det \begin{bmatrix} 2 & 7x \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \] প্রথম ডিটারমিন্যান্ট: \[ \det \begin{bmatrix} 2 & 9 + 5x \\ 0 & 2x + 5 \end{bmatrix} = 2 \times (2x + 5) - 0 \times (9 + 5x) = 2(2x + 5) = 4x + 10 \] দ্বিতীয় ডিটারমিন্যান্ট: \[ \det \begin{bmatrix} 2 & 7x \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 2 \times 0 - 0 \times 7x = 0 \] অতএব, \[ \det(A) = -3 \times (4x + 10) + (2x + 7) \times 0 = -3(4x + 10) = -12x - 30 \] সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে: \[ \det(A) = 0 \] অর্থাৎ, \[ -12x - 30 = 0 \] এখান থেকে, \[ -12x = 30 \] অতএব, \[ x = -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2} \] **উত্তর: \(\boxed{-\frac{5}{2}}\)**