বৃষ্টির দিনে একটি লোক ঘন্টায় 5 কি.মি বেগে হেটে দেখলো বৃষ্টি খাড়াভাবে পড়ছে। তার বেগ দ্বিগুন করে দেখলো বৃষ্টি খাড়া রেখার সাথে   ${\displaystyle {30}^0}$   কোণে পড়ছে। বৃষ্টির প্রকৃত বেগ কত কি.মি/ঘ. ছিলো?

Explanation:

Another Explanation (5): বৃষ্টির প্রকৃত বেগ নির্ণয়ের জন্য নিচে সমাধানটি দেওয়া হল: ধরি, বৃষ্টির প্রকৃত বেগ \(v_r\) এবং উল্লম্বের সাথে তার কোণ \(\theta\)। প্রথম ক্ষেত্রে, যখন লোকটির বেগ \(v_m = 5\) কিমি/ঘণ্টা, তখন বৃষ্টি উল্লম্বভাবে পড়ছে। এর মানে বৃষ্টির অনুভূমিক উপাংশ লোকটির বেগের সমান এবং বিপরীত দিকে। সুতরাং, \(v_r \sin\theta = v_m = 5\) ......(1) দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, যখন লোকটির বেগ দ্বিগুণ অর্থাৎ \(2v_m = 10\) কিমি/ঘণ্টা, তখন বৃষ্টি উল্লম্বের সাথে \(30^\circ\) কোণে পড়ছে। সুতরাং, \(v_r \sin(\theta - 30^\circ) = 2v_m = 10\) ......(2) এখন, \(\frac{v_r \sin\theta}{v_r \sin(\theta - 30^\circ)} = \frac{5}{10}\) \(\Rightarrow \frac{\sin\theta}{\sin(\theta - 30^\circ)} = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow 2\sin\theta = \sin(\theta - 30^\circ)\) \(\Rightarrow 2\sin\theta = \sin\theta \cos 30^\circ - \cos\theta \sin 30^\circ\) \(\Rightarrow 2\sin\theta = \sin\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\theta \cdot \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow 4\sin\theta = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta\) \(\Rightarrow \cos\theta = (\sqrt{3} - 4)\sin\theta\) \(\Rightarrow \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\sqrt{3} - 4}\) \(\Rightarrow \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3} - 4} \cdot \frac{\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3} + 4} = \frac{\sqrt{3} + 4}{3 - 16} = \frac{\sqrt{3} + 4}{-13}\) যেহেতু \(\tan\theta\) এর মান ঋণাত্মক, তাই \(\theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। এখন, \(\sin\theta = \frac{5}{v_r}\) আমরা জানি, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) \(\Rightarrow \sin^2\theta + \sin^2\theta \cdot (\sqrt{3} - 4)^2 = 1\) \(\Rightarrow \sin^2\theta [1 + (\sqrt{3} - 4)^2] = 1\) \(\Rightarrow \sin^2\theta [1 + 3 - 8\sqrt{3} + 16] = 1\) \(\Rightarrow \sin^2\theta [20 - 8\sqrt{3}] = 1\) \(\Rightarrow \sin^2\theta = \frac{1}{20 - 8\sqrt{3}}\) \(\Rightarrow \sin\theta = \sqrt{\frac{1}{20 - 8\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1}{4(5 - 2\sqrt{3})}} = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}}\) এখন, \(v_r = \frac{5}{\sin\theta} = 5 \cdot 2\sqrt{5 - 2\sqrt{3}} = 10\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}\) \(v_r = \frac{5}{\sin \theta}\) আবার, \(v_r \sin \theta = 5\) সুতরাং, \(v_r = \sqrt{5^2 + x^2}\) বৃষ্টির প্রকৃত বেগ 10 কিমি/ঘণ্টা। 🥳