tan(cos^-1x) = sin(tan ^-12) হলে, x এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan(\cos^{-1} x) = \sin(\tan^{-1} 2)\) হলে, \(x\) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, বাম পাশে বিবেচনা করি \(\tan(\cos^{-1} x)\)। ধরি, \(\theta = \cos^{-1} x\)। অর্থাৎ, \(\cos \theta = x\) এবং \(\theta\) এর মান \(0 \leq \theta \leq \pi\)। তাহলে, একটি রেকটাংগুলার ত্রিভুজে, \(\cos \theta = \frac{অধিকাংশের পাশ}{অধিকাংশের দৈর্ঘ্য}\)। এখানে, যদি ধরি, ধনাত্মক মানের জন্য \(\sin \theta\) এর মান খুঁজে বের করি: \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2} \] এখন, \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\): \[ \tan(\cos^{-1} x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \] বাম পাশে মান: \[ \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \] আবার, ডান পাশে বিবেচনা করি \(\sin(\tan^{-1} 2)\)। ধরি, \(\phi = \tan^{-1} 2\)। অর্থাৎ, \(\tan \phi = 2\)। একটি রেকটাংগুলার ত্রিভুজে, যেখানে, বিপরীত পাশ = 2, সাধারণ পাশ = 1। তাহলে, হাইপোটেনিউজের মান: \[ \text{Hypotenuse} = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] অতএব, \(\sin \phi = \frac{\text{বিপরীত পাশ}}{\হাইপোটেনিউজ} = \frac{2}{\sqrt{5}}\) সুতরাং, সমীকরণটি হয়: \[ \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] এখন, সমীকরণ থেকে \(x\) এর মান খুঁজে বের করি: \[ \sqrt{1 - x^2} = \frac{2x}{\sqrt{5}} \] উভয় পাশে স্কোয়ার করি: \[ 1 - x^2 = \frac{4x^2}{5} \] এখন, সমীকরণ সাজাই: \[ 1 = x^2 + \frac{4x^2}{5} = \frac{5x^2 + 4x^2}{5} = \frac{9x^2}{5} \] অতএব, \[ 9x^2 = 5 \] \[ x^2 = \frac{5}{9} \] অতএব, \[ x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] ধরা হয়, \(\cos^{-1} x\) এর জন্য \(\theta\) এর মান \(0 \leq \theta \leq \pi\), যেখানে \(\cos \theta = x\)। যেহেতু \(\cos \theta\) এর মান \([-1, 1]\), এবং \(\tan^{-1} 2\) এর মান \(0 < \phi < \frac{\pi}{2}\), তখন, সমীকরণে \(x\) এর মান ধনাত্মক হওয়া উচিত। তাই, সঠিক মান: \[ x = \frac{\sqrt{5}}{3} \] উত্তর: \(\boxed{\frac{\sqrt{5}}{3}}\)