\( \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & k \end{matrix} \right| \) নির্ণায়কের মান 2 হলে, \( k \) এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, নির্ণায়ক (determinant) হলো: \[ \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & k \end{matrix} \right| = 2 \] এবং আমাদের লক্ষ্য হলো \(k\) এর মান নির্ণয় করা।

ধাপ ১: নির্ণায়ক নির্ণয় করুন

\[ \det = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & k \end{vmatrix} \] নির্ণায়ক নির্ণয় করতে, প্রথম সারির উপাদান অনুযায়ী ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতি ব্যবহার করি: \[ \det = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & k \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & k \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \] প্রতিটি 2x2 মেট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করি: \[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \] অর্থাৎ, \[ \det = 1 \cdot (2 \cdot k - 3 \cdot 4) - 1 \cdot (1 \cdot k - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 1) \] এখন, মানগুলো নির্ণয় করি: \[ = 1 \cdot (2k - 12) - 1 \cdot (k - 3) + 1 \cdot (4 - 2) \] \[ = (2k - 12) - (k - 3) + (2) \] \[ = 2k - 12 - k + 3 + 2 \] \[ = (2k - k) + (-12 + 3 + 2) \] \[ = k - 7 \] অতএব, নির্ণায়ক হলো: \[ \det = k - 7 \]

ধাপ ২: সমাধান করুন

দেয়া হয়েছে, নির্ণায়ক মান 2, সুতরাং: \[ k - 7 = 2 \] অতএব, \[ k = 2 + 7 = 9 \]

উত্তর:

\[ \boxed{9} \]