\( ^nC_r = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা জানি যে, বাঁদিকে দেওয়া সমীকরণটি হল: \[ ^nC_r \] আমাদের লক্ষ্য হল এই সমীকরণটির মানকে অন্যভাবে প্রকাশ করা, অর্থাৎ: \[ ^nC_r = ? \] প্রশ্নে দেওয়া উত্তরে বলা হয়েছে: \[ ^nC_r = ^nC_{r + n} \] এখন, আমরা যাচাই করব এটি সত্য কি না।

প্রমাণ:

আমরা জানি যে, কম্বিনেশন সূত্র: \[ ^nC_r = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!} \] অতএব, \[ ^nC_{r + n} = \frac{n!}{(r + n)! \cdot (n - (r + n))!} \] এখানে, \[ n - (r + n) = -r \] তাই, \[ ^nC_{r + n} = \frac{n!}{(r + n)! \cdot (-r)!} \] এখন, factorial এর জন্য, \(-r\)! সংজ্ঞায়িত নয় যদি \(r\) ধনাত্মক সংখ্যা হয়। এ জন্য, সাধারণত, কম্বিনেশন এর জন্য \(r\) এর মান অবশ্যই ০ বা তার থেকে বড় হতে হবে। তাই, মূল সমীকরণটি সত্য হতে হলে, আমাদের অবশ্যই \(r \geq 0\) ধরা হয়। তবে, যদি \(r = 0\), তবে: \[ ^nC_0 = 1 \] এবং, \[ ^nC_{0 + n} = ^nC_n = 1 \] এবং উভয়ই সমান। অতএব, যেহেতু, \[ ^nC_r = ^nC_{r + n} \] শর্ত হলো \(r \geq 0\) এবং \(r + n \leq n\), অর্থাৎ \(r \leq 0\)। যেহেতু \(r\) সাধারণত ধনাত্মক বা শূন্য ধরা হয়, তখন এই সমীকরণ শুধুমাত্র \(r=0\) এর জন্য সত্য। **উপসংহার:** \[ ^nC_r = ^nC_{r + n} \] শর্তে সত্য হবে যখন \(r=0\)। ---

সারাংশ:

- কম্বিনেশন এর মূল সূত্র: \[ ^nC_r = \frac{n!}{r! (n - r)!} \] - এটি শুধুমাত্র তখন সত্য যখন \(r=0\) বা অন্য নির্দিষ্ট শর্তে। - প্রশ্নে প্রদত্ত সমীকরণটি সাধারণত সত্য নয়, তবে কিছু নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে (যেমন \(r=0\)) সত্য হয়।