ʃ₀¹⁰ [x−5] dx = ?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \) যেখানে \( F(x) \) হলো \( f(x) \) এর antiderivative.

এখানে, \( \int_{0}^{10} [x-5] dx \) হলো আমাদের নির্ণেয় ইন্টিগ্রাল।

ধাপ ১: \( x-5 \) এর পরম মান বিবেচনা করি।

আমরা জানি, \( |x-5| = \begin{cases} -(x-5), & \text{যদি } x < 5 \\ (x-5), & \text{যদি } x \geq 5 \end{cases} \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটিকে দুটি অংশে ভাগ করা যায়:

\( \int_{0}^{10} |x-5| dx = \int_{0}^{5} -(x-5) dx + \int_{5}^{10} (x-5) dx \)

ধাপ ২: প্রতিটি অংশের ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করি।

\( \int_{0}^{5} -(x-5) dx = \int_{0}^{5} (5-x) dx = [5x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{5} = (25 - \frac{25}{2}) - (0) = \frac{25}{2} \)

\( \int_{5}^{10} (x-5) dx = [\frac{x^2}{2} - 5x]_{5}^{10} = (\frac{100}{2} - 50) - (\frac{25}{2} - 25) = (50-50) - (\frac{25}{2} - \frac{50}{2}) = 0 - (-\frac{25}{2}) = \frac{25}{2} \)

ধাপ ৩: দুটি অংশের যোগফল নির্ণয় করি।

\( \int_{0}^{10} |x-5| dx = \frac{25}{2} + \frac{25}{2} = 25 \)

অতএব, \( \int_{0}^{10} |x-5| dx = 25 \)। 🎉