∫π20cos2θcosθdθ=?

এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে, আমরা প্রথমে cos²(θ) কে একটি সরল ফাংশনে রূপান্তর করব। আমরা জানি যে,

cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

সুতরাং, cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2

এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:

∫₀^π/2 cos²(θ) dθ = ∫₀^π/2 (1 + cos(2θ))/2 dθ

= (1/2) ∫₀^π/2 (1 + cos(2θ)) dθ

= (1/2) [θ + (1/2)sin(2θ)]₀^π/2

এখন, আমরা θ এর মান π/2 এবং 0 বসিয়ে পাই:

= (1/2) [(π/2 + (1/2)sin(π)) - (0 + (1/2)sin(0))]

যেহেতু sin(π) = 0 এবং sin(0) = 0,

= (1/2) [π/2 + 0 - 0 - 0]

= π/4

অতএব,

∫₀^π/2 cos²(θ) dθ = π/4

সুতরাং, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটির মান:

∫₀^π/2 cos²(θ) cos(θ) dθ = \(\frac{\pi}{4}\) 🥳