কোন বিন্দুতে 1,2 এবং √3একক বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করলে বলত্রয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান কত? 

Explanation:

Another Explanation (5): মনে করি, \( P = 1 \), \( Q = 2 \) এবং \( R = \sqrt{3} \) একক বল তিনটি একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা তৈরি করেছে। যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে, তাই যেকোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান ও বিপরীত হবে। ধরি, \( P \) এবং \( Q \) বলদ্বয়ের লব্ধি \( R \) বলের সমান। তাহলে, \( R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos{\theta} \) যেখানে, \( \theta \) হলো \( P \) ও \( Q \) এর মধ্যবর্তী কোণ। মান বসিয়ে পাই, \( (\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos{\theta} \) \( 3 = 1 + 4 + 4 \cos{\theta} \) \( 3 = 5 + 4 \cos{\theta} \) \( -2 = 4 \cos{\theta} \) \( \cos{\theta} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \) \( \theta = \cos^{-1}(-\frac{1}{2}) \) \( \theta = 120^\circ \) 🥳 এখন, \( Q \) এবং \( R \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \alpha \) এবং \( P \) এবং \( R \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \beta \) হলে, \( P^2 = Q^2 + R^2 + 2QR \cos{\alpha} \) \( 1^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cos{\alpha} \) \( 1 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} \cos{\alpha} \) \( -6 = 4\sqrt{3} \cos{\alpha} \) \( \cos{\alpha} = -\frac{6}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \alpha = 150^\circ \) ✨ আবার, \( Q^2 = P^2 + R^2 + 2PR \cos{\beta} \) \( 2^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cos{\beta} \) \( 4 = 1 + 3 + 2\sqrt{3} \cos{\beta} \) \( 0 = 2\sqrt{3} \cos{\beta} \) \( \cos{\beta} = 0 \) \( \beta = 90^\circ \) 😎 সুতরাং, বল তিনটির মধ্যবর্তী কোণগুলো হলো: \( 120^\circ \), \( 150^\circ \) এবং \( 90^\circ \) । যেহেতু প্রশ্নে শুধু বলত্রয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই \( 120^\circ \) উত্তরটি সঠিক। ✅