একটি বিন্দুতে 1,2 ও √3 একক বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে।শেষ দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণ কোনটি? 

ধরি, \( \overrightarrow{P} \), \( \overrightarrow{Q} \) এবং \( \overrightarrow{R} \) তিনটি বল একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করেছে। এখানে, \( |\overrightarrow{P}| = 1 \), \( |\overrightarrow{Q}| = 2 \) এবং \( |\overrightarrow{R}| = \sqrt{3} \)।

যেহেতু বলগুলো সাম্যাবস্থায় আছে, তাই ভেক্টর যোগের নিয়ম অনুযায়ী:

\( \overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q} + \overrightarrow{R} = 0 \)

\( \overrightarrow{P} = -(\overrightarrow{Q} + \overrightarrow{R}) \)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই:

\( |\overrightarrow{P}|^2 = |\overrightarrow{Q} + \overrightarrow{R}|^2 \)

\( |\overrightarrow{P}|^2 = |\overrightarrow{Q}|^2 + |\overrightarrow{R}|^2 + 2|\overrightarrow{Q}||\overrightarrow{R}|\cos{\theta} \), যেখানে \( \theta \) হলো \( \overrightarrow{Q} \) এবং \( \overrightarrow{R} \) এর মধ্যবর্তী কোণ।

মান বসিয়ে পাই:

\( 1^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cos{\theta} \)

\( 1 = 4 + 3 + 4\sqrt{3} \cos{\theta} \)

\( 1 = 7 + 4\sqrt{3} \cos{\theta} \)

\( -6 = 4\sqrt{3} \cos{\theta} \)

\( \cos{\theta} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2} \)

অতএব, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 150^\circ \)

সুতরাং, শেষ দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণ \( 150^\circ \) 🥳।