sin^-1x + sin^-1y = π/2 হলে, x√(1-y²) + y√(1-x²) এর মান কত?

দেওয়া আছে, \( \sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \frac{\pi}{2} \)

সুতরাং, \( \sin^{-1}y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x \)

অতএব, \( y = \sin(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x) \)

আমরা জানি, \( \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta \)

সুতরাং, \( y = \cos(\sin^{-1}x) \)

ধরি, \( \sin^{-1}x = \theta \), তাহলে \( x = \sin\theta \)

এখন, \( y = \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - x^2} \)

অতএব, \( y = \sqrt{1 - x^2} \)......(1)

আবার, \( x = \sin(\sin^{-1}x) \)

সুতরাং, \( x = \sin(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}y) = \cos(\sin^{-1}y) \)

ধরি, \( \sin^{-1}y = \phi \), তাহলে \( y = \sin\phi \)

এখন, \( x = \cos\phi = \sqrt{1 - \sin^2\phi} = \sqrt{1 - y^2} \)

অতএব, \( x = \sqrt{1 - y^2} \)......(2)

এখন, \( x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2} \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

(1) ও (2) নং সমীকরণ থেকে পাই,

\( x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2} = x \cdot x + y \cdot y = x^2 + y^2 \)

যেহেতু \( y = \sqrt{1 - x^2} \), সুতরাং \( y^2 = 1 - x^2 \)

অতএব, \( x^2 + y^2 = x^2 + (1 - x^2) = 1 \)

সুতরাং, \( x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2} = 1 \)

🥳🥳🥳